Модератору :
ой, прямо и не знаю. Заинтриговали. 
Всегда думалось, что страна рождения важна именно для процесса гк-лотереи и никакого отношения к проставлению визы в паспорт не имеет. 
Т.е. Вы утверждаете, что для офицера, принимающего решение о выдаче виз, решающее значение имеет именно страна рождения «клиента», но никак не его гражданство.  Я Вас правильно понял ? 
Автору : 
«при наличии у человека нескольких гражданств, все его паспорта валидные, а следовательно нет причин их игнорировать» - 
Вы изучите правила лотереи. Хотя бы правила. 
«перепроверил анкету, там написано Country of Origin (Nationality) и Other Country of Origin (Nationality) то есть вроде как нету приоритетов.» - 
Правда? Тогда почему эти вопросы разделили ? Вы вчитайтесь в них. 
Скажите хотя бы это :
1 - по какому принципу вы принимали участие в лотерее, от какой страны ? подробно. 
2 - указывали ли вы в анкете о наличии у вас второго гражданства - великобритании ? 
3 - сообщали ли вы в ксс о наличии у вас гр-ва великобритании ? если да, то как и когда точно ?
Ответ на ваши вопросы :
1 – в «самой первичной гринкардовской визе» (правда, таковой не существует, есть иммиграционная виза) фамилия и имя указываются непременно. И даже имеется фото счастливчика. Скажите, а в не «самой первичной гринкардовской визе» , в обычной, по которой Вы въезжали в ЮК, там была Ваша фамилия и имя ? Причем она ведь по статусу намного ниже иммиграционной. 
2 – в  «гринке» фамилия и имя будет в точном соответствии с Вашим загранпаспортом, в котором проставлена эта самая «самая первичная гринкардовская виза» и по которому вы въедете в страну. Поменять своё имя и фамилию Вы можете только после  возникновения у Вас права на натурализацию. Только тогда, только на основании Вашего прошения и только перед получением сертификата о натурализации. 
----------------------- 
Поскольку автор не писал в какой стране будет проходить интервью, поскольку он выиграл как гр-н РФ, я предположил, что это будет в РФ. И все мои ответы подразумевали прохождение им интервью в РФ. 
Но позже (каюсь, что не сразу) обратил внимание на interview November 2017, London , под его ником. 
Если это так, то в таком случае отвечу по-иному :   
Медкомиссию и интервью Вы проходите в той стране, от которой делали заявку на участие в гк (по гражданству). =даже на форуме так было написано=
В какой стране будете проходить интервью, в такой паспорт и будет проставлена виза.                
В Москве не будут ставить визу в британский паспорт, а в Лондоне – в российский. 
= Хотя, госпожа Модератор утверждает, что при прохождении Васей интервью в Лондоне, визу ему проставят по его просьбе именно в паспорт РФ. =
Я лично никак не пойму : 
поскольку выиграл Вася, который ранее в анкете указывал свой росс. паспорт (и, я так думаю, что не указывал наличие британского), то как можно проставить визу на имя Васи Пупкина, полученную, грубо говоря, сейчас,  в паспорт на имя Джона Смита, но с фотографией Васи, и выданный ему аж 10 лет назад ?
Автор изложил свою проблему настолько скрытно, непоследовательно и запутанно, насколько это возможно. 
То ли умышленно, что-то скрывая, то ли потому, что ... просто Вася.  
PS. Если сумбурно и нетактично, - чистосердечное сорри. 
Pps . «Мне то пофиг, а вот для детей будет трагедия!» :  я так думаю, что как раз  наоборот. А может быть и для них, и для Вас. 
И еще одно : напрягусь, но все-таки пойму тех, которые были Дятлов, а стали Dyatloff. Но вероятно никогда не пойму тех, которые были Дятлов, а стали Baker.